В треугольнике АВС известно, что АВ = 15, АС = 25, точка О центр окруж- ности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Пусть $$M$$ - середина $$BC$$, тогда $$AO$$ - серединный перпендикуляр к $$BC$$. Так как $$BD \perp AO$$, то $$BD \parallel MC$$.

Пусть $$E$$ - точка пересечения $$AO$$ и $$BC$$, тогда $$BE \perp AO$$.

Треугольники $$ABE$$ и $$ACD$$ подобны по двум углам ($$\angle A$$ - общий, $$\angle BEA = \angle BDA = 90^\circ$$).

Отсюда:

1. $$\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC} \\ AD = \frac{AB \cdot AC}{AE}$$

Треугольники $$ABE$$ и $$AEO$$ подобны по двум углам ($$\angle A$$ - общий, $$\angle BEA = \angle BDA = 90^\circ$$).

Отсюда:

1. $$\frac{AB}{AO} = \frac{AE}{AB} \\ AE = \frac{AB^2}{AO}$$

Подставим $$AE$$ в первое равенство:

1. $$AD = \frac{AB \cdot AC}{\frac{AB^2}{AO}} = \frac{AC \cdot AO}{AB}$$

Поскольку $$AO$$ - радиус описанной окружности, то по теореме синусов:

1. $$\frac{BC}{\sin A} = 2AO \\ AO = \frac{BC}{2 \sin A}$$

Подставим $$AO$$ в выражение для $$AD$$:

1. $$AD = \frac{AC}{AB} \cdot \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{AC \cdot BC}{2AB \sin A}$$

Заметим, что площадь треугольника $$ABC$$ можно найти двумя способами:

1. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$$

1. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AE = \frac{1}{2} BC \cdot BD$$

Приравняем правые части:

1. $$\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{abc}{4R} \\ AD = \frac{AC \cdot \frac{AC \cdot BC}{2AB \sin A}}{2AB \sin A} = \frac{AC \cdot BC}{4AB^2 \sin^2 A} = \frac{AC^2 \cdot BC}{2AB^2}$$

По т. косинусов $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$$.

$$AD = \frac{25 \cdot \frac{AC \cdot BC}{2AB \sin A}}{4R} = \frac{125}{3}$$

1. $$CD = AC - AD = 25 - \frac{625}{225} = 25 - \frac{125}{9} = \frac{225 - 125}{9} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$$