На средней линии трапеции АВCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников АВК и CDK равна половине площади трапеции.

Доказательство:

• Пусть \(h\) – высота трапеции ABCD, а \(AD = a\) и \(BC = b\) – основания трапеции.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(MN = \frac{a + b}{2}\), где MN – средняя линия.
• Так как точка K лежит на средней линии, то высота от точки K до основания AD равна \(\frac{h}{2}\), и высота от точки K до основания BC также равна \(\frac{h}{2}\).
• Площадь треугольника ABK равна половине произведения AB на высоту, опущенную из K на AB: \(S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{h}{2}\)
• Площадь треугольника CDK равна половине произведения CD на высоту, опущенную из K на CD: \(S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot \frac{h}{2}\)
• Сумма площадей треугольников ABK и CDK: \(S_{ABK} + S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4}h(BC + AD) = \frac{1}{4}h(a + b)\)
• Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(a + b)h\)
• Сравним сумму площадей треугольников и площадь трапеции: \(S_{ABK} + S_{CDK} = \frac{1}{4}h(a + b)\) \(\frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{4}h(a + b)\) Следовательно, \(S_{ABK} + S_{CDK} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\)

Таким образом, сумма площадей треугольников ABK и CDK равна половине площади трапеции ABCD.