В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 28, АС = 56, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВД, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Д. Найдите CD.

Обозначим $$\angle BAC = \alpha$$. Тогда $$\angle BOC = 2\alpha$$ как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $$\\,BAC$$. Так как $$OB = OC = R$$, то треугольник $$BOC$$ равнобедренный, и $$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$$.

Так как $$BD \perp AO$$, то $$\angle AOD = 90^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$AOD$$: $$\angle ADO = 90^\circ - \angle DAO = 90^\circ - \alpha$$.

Значит, $$\angle OCB = \angle ODA$$, следовательно, $$BD \parallel BC$$, и четырехугольник $$BCDB$$ - трапеция.

Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ имеют общую сторону $$AB$$ и $$\angle BAC = \angle BAD$$. По теореме синусов: $$\frac{BC}{\sin{\alpha}} = 2R$$, $$\frac{BD}{\sin{\alpha}} = 2R$$. Следовательно, $$BC = BD$$, и трапеция $$BCDB$$ - равнобедренная.

Тогда $$CD = |AC - AD| = |AC - AB| = |56 - 28| = 28$$.

Ответ: 28