11) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.

Дано: AM = 7 MB = 10 AN = 5 NC = 9 $$S_{ABC}$$ = 68 Найти: $$S_{AMN}$$ Решение: 1. Найдем стороны AB и AC. AB = AM + MB = 7 + 10 = 17 AC = AN + NC = 5 + 9 = 14 2. Выразим площадь треугольника AMN через площадь треугольника ABC. $$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot sinA$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA$$ Тогда $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot sinA}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$ $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{7 \cdot 5}{17 \cdot 14} = \frac{35}{238} = \frac{5}{34}$$ $$S_{AMN} = S_{ABC} \cdot \frac{5}{34} = 68 \cdot \frac{5}{34} = 2 \cdot 5 = 10$$ Ответ: 10