10) Найдите tg 2$$\alpha$$, если sin$$\alpha$$ = -$$\frac{\sqrt{17}}{9}$$ и -$$\pi$$ < $$\alpha$$ < -$$\frac{\pi}{2}$$

Дано: sin$$\alpha$$ = -$$\frac{\sqrt{17}}{9}$$, -$$\pi$$ < $$\alpha$$ < -$$\frac{\pi}{2}$$. Найти: tg 2$$\alpha$$. Решение: 1. Найдем cos$$\alpha$$. Так как -$$\pi$$ < $$\alpha$$ < -$$\frac{\pi}{2}$$, $$\alpha$$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. $$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$$ $$cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{\sqrt{17}}{9})^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81}$$ $$cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9}$$ 2. Найдем sin 2$$\alpha$$ и cos 2$$\alpha$$. $$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{17}}{9}) \cdot (-\frac{8}{9}) = \frac{16\sqrt{17}}{81}$$ $$cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) = \frac{64}{81} - \frac{17}{81} = \frac{47}{81}$$ 3. Найдем tg 2$$\alpha$$. $$tg(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)} = \frac{\frac{16\sqrt{17}}{81}}{\frac{47}{81}} = \frac{16\sqrt{17}}{47}$$ Ответ: $$\frac{16\sqrt{17}}{47}$$