16.35. На сторонах треугольника АВС (рис. 16.8) отметили точки Е и F так, что ∠1 = ∠2. Докажите, что ∠3 = ∠4.

Дано: треугольник ABC, точки E и F на сторонах AB и BC соответственно, ∠1 = ∠2. Доказать: ∠3 = ∠4. Решение: Рассмотрим треугольник BEF. Сумма его углов равна 180°. ∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180° ∠4 + ∠BEF + ∠2 = 180° Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна 180°. ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180° ∠4 + ∠1 + ∠3 = 180° (т.к ∠ABC = ∠4, ∠BAC=∠1 ∠BCA=∠3) ∠3 + ∠4 = 180° - ∠1 По условию ∠1 = ∠2, тогда ∠3 + ∠4 = 180° - ∠2 Рассмотрим четырехугольник AECF. Сумма его углов равна 360°. ∠A + ∠E + ∠C + ∠F = 360° Чтобы доказать, что углы 3 и 4 равны, докажем, что треугольник BEF равнобедренный и EF является биссектрисой. Треугольники AEF и CEF не имеют общих сторон, углов, либо других признаков, доказывающих их равенство. Для решения этой задачи необходимо найти еще равенства углов. Невозможно доказать, что ∠3 = ∠4, имея только условие ∠1 = ∠2. Это утверждение не всегда верно.