16.33. Отрезок ВК — биссектриса равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, ∠AKB = 105°. Найдите углы треугольника ABC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC, а углы при основании, ∠ABC и ∠ACB, равны. В треугольнике ABK угол ∠BAK = 180° - ∠ABK - ∠AKB = 180° - ∠ABK - 105° = 75° - ∠ABK Так как BK - биссектриса, то ∠ABK = ∠CBK. Значит, ∠ABC = 2 * ∠ABK. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°. Значит (75° - ∠ABK)*2 + 2 * ∠ABK + 2 * ∠ABK = 180. Т.к. угол BAC=2*BAK и ACB = ABC Угол A не равен 2*(75 - ABK), это не так. По-другому: Угол AKB = 105. Тогда угол BKA' смежный с AKB равен 180-105=75. В треугольнике ABK: A + B/2 = 75. В большом треугольнике: A + B = ? 180-C. Но тк треугольник равнобедренный то B = C и получается A + 2B = 180. Тогда A = 180 - 2B. A = 75 - B/2. 180 - 2B = 75 - B/2 105 = 3/2B. B = 105*2/3 = 70. B = C = 70 A = 180 - 70*2 = 40. Ответ: Углы треугольника ABC: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°.