5. На стороне \( AC \) треугольника \( ABC \) отмечены точки \( D \) и \( E \) так, что \( AD = CE \). Докажите, что если \( BD = BE \), то \( AB = BC \).

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \( \triangle BDE \). По условию, \( BD = BE \), следовательно, \( \triangle BDE \) - равнобедренный. Значит, \( \angle BDE = \angle BED \). 2. \( \angle BDE \) и \( \angle ADB \) - смежные углы, следовательно, \( \angle ADB = 180^\circ - \angle BDE \). 3. \( \angle BED \) и \( \angle BEC \) - смежные углы, следовательно, \( \angle BEC = 180^\circ - \angle BED \). 4. Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( \angle ADB = \angle BEC \) (из пунктов 2 и 3). 5. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADB \) и \( \triangle BEC \). У них: * \( AD = CE \) (по условию) * \( BD = BE \) (по условию) * \( \angle ADB = \angle BEC \) (доказано в пункте 4) 6. Следовательно, \( \triangle ADB = \triangle BEC \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 7. Из равенства треугольников следует, что \( AB = BC \). Таким образом, доказано, что если \( BD = BE \), то \( AB = BC \).