На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны. Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и CBE.
1. AD = CE (по условию)
2. BD = BE (по условию)

Чтобы доказать, что треугольники ABD и CBE равны, нам нужно доказать равенство углов между соответствующими сторонами или равенство третьей стороны.

Так как BD = BE, треугольник BDE - равнобедренный. Значит, \(\angle BDE = \angle BED\).

Рассмотрим углы, смежные с углами BDE и BED. Обозначим \(\angle ADB\) и \(\angle CEB\).
Так как \(\angle ADB\) и \(\angle BDE\) - смежные, то \(\angle ADB = 180^\circ - \angle BDE\).
Аналогично, \(\angle CEB = 180^\circ - \angle BED\).

Поскольку \(\angle BDE = \angle BED\), то \(\angle ADB = \angle CEB\).

Теперь у нас есть:
1. AD = CE
2. BD = BE
3. \(\angle ADB = \angle CEB\)

Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AB = BC. Значит, треугольник ABC - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.