10. На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕД = 5 см, ВЕ = 12 см, ВД = 13 см. Докажите, что треугольник ВЕД прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма. (4 балла)

Решение:

Пошаговое решение:

1. Проверим, является ли треугольник \( BED \) прямоугольным. \[ BE^2 + ED^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \] \[ BD^2 = 13^2 = 169 \] Так как \( BE^2 + ED^2 = BD^2 \), треугольник \( BED \) прямоугольный.
2. \( AD = AE + ED = 4 + 5 = 9 \) см.
3. Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна произведению основания на высоту. Высота параллелограмма равна \( BE = 12 \) см, а основание \( AD = 9 \) см. \[ S = AD \cdot BE = 9 \cdot 12 = 108 \] см².

Ответ: Площадь параллелограмма равна 108 см².