3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне A1B1 треугольника A1B1C1 взята точка D1. Известно, что треугольники ADC и AIDIC1 равны и отрезки DB и DIBI равны. Докажите равенство треугольников АВС и АІВІСІ

Дано: ΔADC = ΔA₁D₁C₁, DB = D₁B₁

Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

1. Так как ΔADC = ΔA₁D₁C₁, то AC = A₁C₁, AD = A₁D₁, ∠DAC = ∠D₁A₁C₁ и ∠ACD = ∠A₁C₁D₁.

2. По условию DB = D₁B₁.

3. Тогда AB = AD + DB = A₁D₁ + D₁B₁ = A₁B₁.

4. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: AC = A₁C₁, AB = A₁B₁.

Для доказательства равенства ΔABC = ΔA₁B₁C₁ нужно доказать равенство углов ∠CAB = ∠C₁A₁B₁.

∠CAB = ∠DAC, ∠C₁A₁B₁ = ∠D₁A₁C₁. Так как ∠DAC = ∠D₁A₁C₁, то ∠CAB = ∠C₁A₁B₁.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).