12 На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB=20 и AD=41, отмечена точка Е так, что ДЕАВ = 45°. Найдите ED.

Так как \(\angle EAB = 45^\circ\) и \(AB\) - катет прямоугольного треугольника, то \(AE = AB = 20\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADE\), в котором \(AD = 41\), \(AE = 20\). По теореме Пифагора найдем \(DE\):

$$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{41^2 + 20^2} = \sqrt{1681 + 400} = \sqrt{2081}$$.

Т.к. \(\angle EAB = 45^\circ\), то \(\angle ABE = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle AEB = 45^\circ\). Значит, \(ABE\) - равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, \(BE = AB = 20\). Так как \(BC = AD = 41\), то \(EC = BC - BE = 41 - 20 = 21\). Тогда \(ED = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29\)

Ответ: 29