5. На высоте ВН равнобедренного ДАВС, проведенной к осно-ванию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС – точки Ми К соответственно (точки М, Ри К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК. Докажите, что: а) углы АНМ и СНК равны; б) углы МРН и КРН равны.

а) Докажем, что углы AHM и CHK равны.

В равнобедренном треугольнике ABC, BH - высота, проведенная к основанию AC, является также медианой и биссектрисой. Значит, AH = HC и ∠ABH = ∠CBH.

Так как BM = BK, треугольник MBK - равнобедренный, следовательно, ∠BMK = ∠BKM.

Рассмотрим треугольники AHM и CHK. AH = HC (так как BH - медиана), ∠AHM = ∠CHK (вертикальные углы).

Так как BH - высота, то ∠BHA = 90°, а значит ∠AHM = 90° - ∠MHB. Аналогично, ∠CHK = 90° - ∠KHC.

Теперь рассмотрим углы ∠MBH и ∠KBH. Они равны, так как BH - биссектриса. Также ∠BMK = ∠BKM.

Из равенства треугольников следует равенство углов AHM и CHK.

б) Докажем, что углы MPH и KPH равны.

Рассмотрим треугольники MPH и KPH. PH - общая сторона. MH = KH (треугольники AHM и CHK равны).

Так как ∠AHM = ∠CHK, то ∠MHP = ∠KHP (смежные углы с равными углами). Следовательно, треугольники MPH и KPH равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников MPH и KPH следует равенство углов MPH и KPH.

Ответ: Углы AHM и CHK равны; углы MPH и KPH равны.