Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B так, чтобы длина отрезка AB была равна 8 см. Найдите на прямой AB все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка AB равна: 1) 8 см; 2) 10 см; 3) 7 см.

Для точки \(X\), лежащей на прямой \(AB\), рассмотрим три случая.

1. Если \(X\) находится внутри отрезка \(AB\), то \(AX+XB=AB=8\) см. Поэтому подходит любая точка отрезка \(AB\), включая точки \(A\) и \(B\).
2. Если \(X\) находится за точкой \(B\), то \(AX+XB=AB+2BX=8+2BX>8\). Равенство 10 см достигается при \(2BX=2\), то есть \(BX=1\) см.
3. Если \(X\) находится за точкой \(A\), то \(AX+XB=AB+2AX=8+2AX>8\). Равенство 10 см достигается при \(AX=1\) см.

Сумма расстояний не может быть меньше \(AB=8\) см, поэтому значение 7 см невозможно.

Ответ:

1. все точки отрезка \(AB\);
2. две точки: на расстоянии 1 см от \(A\) за точкой \(A\) и на расстоянии 1 см от \(B\) за точкой \(B\);
3. таких точек нет.