458 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы раз 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объя призмы.

Пусть наибольшая диагональ призмы равна d = 8 см, а угол между этой диагональю и боковым ребром равен 30°. Пусть сторона основания равна a, а высота призмы равна h. Найдем сторону основания a. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы соединяет две противоположные вершины верхнего и нижнего оснований. Эта диагональ равна \(2a\), где a - сторона основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наибольшей диагональю, высотой призмы и наибольшей диагональю основания. Тогда: 1. Высота h (боковое ребро) призмы составляет угол 30° с наибольшей диагональю d = 8 см. Следовательно: \[h = d \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\] (см) 2. Наибольшая диагональ основания (2a) составляет угол 60° с наибольшей диагональю d = 8 см. Следовательно: \[2a = d \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\] (см) \[a = 2\] (см) Теперь найдем площадь основания (правильного шестиугольника): \[S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 6\sqrt{3}\] (см²) Объем призмы: \[V = S \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot 3 = 72\] (см³) Ответ: 72 см³