457 В правильной треугольной призме через сторону нижнего основа ния и противолежащую ей вершину верхнего основания проведен сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найди те объём призмы, если сторона основания равна а.

Пусть ABC - основание призмы, A₁B₁C₁ - верхнее основание, и проведено сечение через сторону AB и вершину C₁. Угол между плоскостью сечения ABC₁ и плоскостью основания ABC равен 60°. Пусть h - высота призмы. Тогда тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен отношению высоты призмы к высоте основания, проведенной к стороне AB. В основании лежит правильный треугольник со стороной a, поэтому его высота равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Тогда: \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\] \[\sqrt{3} = \frac{2h}{a\sqrt{3}}\] \[h = \frac{3a}{2}\] Площадь основания (правильного треугольника) равна: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Объем призмы равен: \[V = S \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}\] Ответ: \(V = \frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\)