456 Найдите объём правильной п-угольной призмы, у которой каждо ребро равно а, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п=8.

Для решения этой задачи необходимо знать формулу объема правильной n-угольной призмы. Объем V правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, вычисляется по формуле: $$V = \frac{n}{4} a^3 \cot(\frac{\pi}{n})$$ а) n = 3 (правильный треугольник): $$V = \frac{3}{4} a^3 \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4} a^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3$$ б) n = 4 (квадрат): $$V = \frac{4}{4} a^3 \cot(\frac{\pi}{4}) = a^3 \cdot 1 = a^3$$ в) n = 6 (правильный шестиугольник): $$V = \frac{6}{4} a^3 \cot(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{2} a^3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3$$ г) n = 8 (правильный восьмиугольник): $$V = \frac{8}{4} a^3 \cot(\frac{\pi}{8}) = 2 a^3 (1 + \sqrt{2})$$

• а) \( V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \)
• б) \( V = a^3 \)
• в) \( V = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3 \)
• г) \( V = 2 a^3 (1 + \sqrt{2}) \)

Ответ: См. решение