4. Найдите \(10\sqrt{5} \sin \alpha\), если \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\), и \(\alpha \in (\frac{\pi}{2};\pi)\).

Для решения данной задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin²α + cos²α = 1

Из этого тождества выразим sinα:

sin α = ±\(\sqrt{1 - cos^2 α}\)

Учитывая, что \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), то есть α находится во второй четверти, где синус положительный, выбираем положительное значение корня.

sin α = \(\sqrt{1 - cos^2 α}\)

Подставим известное значение cos α:

sin α = \(\sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}\) = \(\sqrt{1 - \frac{5}{25}}\) = \(\sqrt{1 - \frac{1}{5}}\) = \(\sqrt{\frac{4}{5}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\) = \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Теперь найдем значение выражения \(10\sqrt{5} \sin \alpha\):

10\(\sqrt{5}\) \(\cdot\) \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\) = \(\frac{10 \cdot 2 \cdot 5}{5}\) = \(\frac{100}{5}\) = 20

Ответ: 20