14 6=4 Найдите: ЅамKN

Пусть \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - векторы, образующие стороны параллелограмма AMKN, угол между ними равен 45°. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), т.е.

$$S_{AMKN} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin{\alpha}$$

По условию \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \). Скалярное произведение векторов равно:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\alpha}$$

Следовательно,

$$4 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{45^{\circ}}$$ $$\cos{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$4 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$

Тогда площадь параллелограмма равна:

$$S_{AMKN} = 4\sqrt{2} \cdot \sin{45^{\circ}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$$

Ответ: 4