23. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD соответственно 30° и 135°, а CD=12√2.

Решение: 1. Проведем высоту CE из вершины C на сторону AD. 2. \(\angle BCD = 135^\circ\), значит, \(\angle BCE = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\). 3. Рассмотрим \(\triangle CDE\). Угол \(\angle CED = 90^\circ\). \(\angle DCE = 45^\circ\), значит, \(\angle CDE = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, \(\triangle CDE\) – равнобедренный, и \(CE = DE\). 4. Пусть \(CE = DE = x\). Тогда по теореме Пифагора в \(\triangle CDE\): \(CD^2 = CE^2 + DE^2\) \((12\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2\) \(288 = 2x^2\) \(x^2 = 144\) \(x = 12\) Значит, \(CE = DE = 12\). 5. Проведем высоту BF из вершины B на сторону AD. Рассмотрим \(\triangle ABF\). \(\angle ABF = 90^\circ\), \(\angle ABC = 30^\circ\). Значит, \(\angle BAF = 60^\circ\). 6. В прямоугольном треугольнике ABF катет BF, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB. Значит, \(AB = 2BF = 2 \cdot CE = 2 \cdot 12 = 24\). Ответ: AB = 24