9. Найдите боковую сторону АВ трапеции АВСД, если углы АВС и ВCD равны соответственно 60° и 135°, а CD=36.

Решение:

Опустим высоту CK на сторону AD. Рассмотрим треугольник CBK. Угол BCK = 135° - 90° = 45°. Тогда угол CBK = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник CBK - равнобедренный, CK = BK.

Опустим высоту BH на сторону AD. Угол ABH = 90° - 60° = 30°. Рассмотрим треугольник ABH, в котором угол ABH = 30°, а AB - гипотенуза. BH = 1/2 AB

CK = BH, BK + AH = AD - BC. BK = CD * sin (135 - 90) = 36*sin45= 36* √2/2 = 18√2

AH = AB * cos (90-60) = AB * cos 30 = AB * √3/2

Угол BCD = 135, значит угол ADC = 180 - 135 = 45

BC = AD -AH- BK => AH = AD- BC - BK.

Рассматриваем трапецию, она не является равнобедренной.

Из вершины С опустим перпендикуляр СК на основание АД. Из вершины В опустим перпендикуляр ВН на основание АД.

Рассмотрим треугольник СДК: угол Д=45 градусов, угол СКД=90 градусов, угол ДСК=45 градусов, значит СК=ДК=Х

Рассмотрим треугольник АВН: угол ВАН= 180-60-135=45 градусов, угол АНВ=90 градусов, угол АВН=45 градусов, значит ВН=АН=У

ВС=НК. СК=ВН, значит Х=У. АД=АН+НК+КД. ВС=АД-(АН+КД)=АД-2Х

Рассмотрим треугольник СДК: СД/СК=синус 45 градусов=корень из 2/2.

СК=СД*корень из 2/2=36*корень из 2/2=18*корень из 2 = ВН, АН=ВН=18*корень из 2.

Рассмотрим треугольник АВН: АВ/ВН=синус 60=корень из 3/2. АВ=ВН*корень из 3/2 =18*корень из 2*корень из 3/2 =18*корень из 6 /2 = 9*корень из 6

АВ = 18

Ответ: 18