490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

а) Пусть основание равно \(a = 12\) см, высота \(h = 8\) см. Боковая сторона \(b\) находится по теореме Пифагора: \(b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). Следовательно, \(b = \sqrt{100} = 10\) см. Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\) кв. см. б) Если угол при вершине равен 120°, то углы при основании равны \(\frac{180° - 120°}{2} = 30°\). Пусть основание \(a = 18\) см. Рассмотрим половину треугольника. \(\tan{30°} = \frac{a/2}{h}\), где \(h\) - высота. Отсюда, \(h = \frac{a}{2\tan{30°}} = \frac{18}{2 \cdot (1/\sqrt{3})} = 9\sqrt{3}\) см. Теперь найдём боковую сторону \(b\): \(b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(9\sqrt{3})^2 + 9^2} = \sqrt{243 + 81} = \sqrt{324} = 18\) см. Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9\sqrt{3} = 81\sqrt{3}\) кв. см. в) В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. Пусть \(c\) - гипотенуза, \(h = 7\) см. Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}ch\). Также \(S = \frac{1}{2}ab\), где \(a\) и \(b\) - катеты. Имеем \(ab = ch\). Нужно больше данных, чтобы однозначно определить боковую сторону. (Более конкретное решение невозможно без дополнительных данных).