588 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре- угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён- ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря- моугольный и высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см.

а) Дано: равнобедренный треугольник, основание – 12 см, высота, проведенная к основанию, – 8 см.

Найти: боковую сторону, площадь.

Решение:

Боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

$$a = \sqrt{h^2 + (\frac{c}{2})^2}$$, где а - боковая сторона, h - высота, с - основание.

$$a = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$.

б) Дано: равнобедренный треугольник, основание – 18 см, угол, противолежащий основанию, равен 120°.

Найти: боковую сторону, площадь.

Решение:

Угол при основании равен: $$\frac{180 - 120}{2} = 30^\circ$$.

Высота, проведенная к основанию, равна: $$h = \frac{1}{2} \cdot a$$, где а - боковая сторона.

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120^\circ$$, где с - основание.

$$18^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$.

$$324 = 3a^2 \implies a^2 = 108 \implies a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}$$.

$$h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

в) Дано: прямоугольный треугольник, высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см.

Найти: боковую сторону, площадь.

Решение:

Недостаточно данных, чтобы найти боковую сторону и площадь.

Ответ: а) 10 см, 48 см²; б) $$6\sqrt{3}$$ см, $$27\sqrt{3}$$ см²; в) недостаточно данных.