94 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если AB = 3, а CD = √3.

Дано: треугольник ABC, основание D высоты CD лежит на стороне АВ, AD = BC, AB = 3, CD = √3.

Найти: АС.

Решение:

Пусть AD = BC = x.

Тогда BD = AB - AD = 3 - x.

Из прямоугольного треугольника BCD: $$BC^2 = CD^2 + BD^2 \implies x^2 = (\sqrt{3})^2 + (3 - x)^2 = 3 + 9 - 6x + x^2$$.

$$x^2 = 12 - 6x + x^2 \implies 6x = 12 \implies x = 2$$.

Тогда AD = 2.

Из прямоугольного треугольника ADC: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7 \implies AC = \sqrt{7}$$.

Ответ: $$\sqrt{7}$$.