593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9√2 см.

а) Дано: трапеция ABCD, основания АВ = 10 см, CD = 20 см, BC = DA = 13 см.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная. Высота, проведенная из вершины В к основанию CD, разбивает основание CD на отрезки: CK = (20 - 10)/2 = 5 см.

Высота трапеции равна: $$h = \sqrt{BC^2 - CK^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$.

б) Дано: трапеция ABCD, основания АВ = BC = 8 см, ∠C = ∠D = 60°.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная. Боковая сторона равна меньшему основанию, значит, трапеция состоит из трех равносторонних треугольников со стороной 8 см.

Тогда большее основание равно 16 см. Высота трапеции равна высоте равностороннего треугольника со стороной 8 см.

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

в) Дано: трапеция ABCD, основания АВ = 6 см, ВС = $$9\sqrt{2}$$ см, ∠C = ∠D = 45°.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная.

Высота трапеции равна: $$h = BC \cdot \sin 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$.

Отрезок DK равен: $$DK = BC \cdot \cos 45^\circ = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$.

CD = AB + 2DK = 6 + 2 \cdot 9 = 6 + 18 = 24 \text{ см}$$.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$.

Ответ: а) 180 см²; б) $$48\sqrt{3}$$ см²; в) 135 см².