592 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ 12 см.

Дано: ромб, сторона равна 10 см, одна из диагоналей равна 12 см.

Найти: другую диагональ, площадь.

Решение:

Пусть сторона ромба а, одна диагональ d, другая диагональ D.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Тогда $$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2 \implies (\frac{D}{2})^2 = a^2 - (\frac{d}{2})^2 \implies \frac{D}{2} = \sqrt{a^2 - (\frac{d}{2})^2}$$.

$$D = 2\sqrt{a^2 - (\frac{d}{2})^2} = 2\sqrt{10^2 - 6^2} = 2\sqrt{100 - 36} = 2\sqrt{64} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}$$.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $$S = \frac{1}{2}d \cdot D$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$$.

Ответ: 16 см, 96 см².