7. Найдите число целых решений неравенства $$\frac{(x-3)(-x^2 + 5x + 6)}{x-5} \ge 0$$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: $$x - 3 = 0$$ => $$x = 3$$ $$-x^2 + 5x + 6 = 0$$ => $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x - 5 = 0$$ => $$x = 5$$ Отметим точки на числовой прямой: -1, 3, 5, 6. Определим знаки на интервалах: (-∞; -1): (+) => (-∞; -1] (-1; 3): (-) => (-1; 3] (3; 5): (+) => (3; 5) (5; 6): (-) => (5; 6] (6; +∞): (+) => (6; +∞) Решением неравенства являются интервалы: [-1; 3] ∪ (5; 6]. Целые решения: -1, 0, 1, 2, 3, 6. Количество целых решений: 6. Ответ: **6**