Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=13$, $BC=20$, $\angle ABM=69^\circ$ и $\angle CBM=42^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=13$, $BC=20$, $\angle ABM=69^\circ$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой $AC$.

Угол при вершине $B$: $\angle ABC=69^\circ+42^\circ=111^\circ$.

Обозначим $AC=b$. По теореме косинусов:

$b^2=13^2+20^2-2\cdot13\cdot20\cos111^\circ$.

По теореме Аполлония для медианы:

$BM^2=\dfrac{2\cdot13^2+2\cdot20^2-b^2}{4}=\dfrac{13^2+20^2+2\cdot13\cdot20\cos111^\circ}{4}$.

Следовательно, $BM=\dfrac12\sqrt{569+520\cos111^\circ}\approx9.78$.

Ответ: $BM\approx9.78$.

Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=13\), \(BC=20\), \(\angle ABM=69^\circ\) и \(\angle CBM=42^\circ\).