Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 7, BC = 12, ∠ABM = 73° и ∠CBM = 34°. На рисунке M — середина AC.

Шаг 1. Луч BM делит угол ABC на два угла, поэтому \(\angle ABC=73^\circ+34^\circ=107^\circ\).

Шаг 2. По теореме косинусов найдём квадрат AC:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC\).

\(AC^2=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cos107^\circ=193-168\cos107^\circ\).

Шаг 3. По теореме Аполлония для медианы:

\(BM^2=\dfrac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}=\dfrac{193+168\cos107^\circ}{4}\).

Следовательно, \(BM=\dfrac{1}{2}\sqrt{193+168\cos107^\circ}\approx5.998\). С точностью до целых это примерно 6.

Ответ: \(BM\approx6\).