7. Найдите для функции у = х²+ 6x - 8: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Ответ: а) (-∞; +∞); б) (-∞; 1]; в) 1; г) x = 3; д) x = 2 и x = 4; е) y > 0 при 2 < x < 4; y < 0 при x < 2 и x > 4; ж) возрастает при x < 3; убывает при x > 3

• а) Область определения: Все действительные числа, так как это квадратичная функция. (-∞; +∞)
• б) Множество значений: Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз. Найдем вершину параболы: x_верш = -b / 2a = -6 / (2 * -1) = 3. y_верш = -(3)² + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1. Значит, множество значений: (-∞; 1]
• в) Наибольшее значение: 1 (вершина параболы)
• г) Уравнение оси симметрии параболы: x = 3 (вертикальная прямая, проходящая через вершину)
• д) Нули функции: Решим уравнение -x² + 6x - 8 = 0. x² - 6x + 8 = 0. D = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4. x₁ = (6 + √4) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4. x₂ = (6 - √4) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2. Нули функции: x = 2 и x = 4
• е) Промежутки знакопостоянства: y > 0 при 2 < x < 4; y < 0 при x < 2 и x > 4
• ж) Промежутки монотонности: Функция возрастает при x < 3; функция убывает при x > 3

Ответ: а) (-∞; +∞); б) (-∞; 1]; в) 1; г) x = 3; д) x = 2 и x = 4; е) y > 0 при 2 < x < 4; y < 0 при x < 2 и x > 4; ж) возрастает при x < 3; убывает при x > 3