8. Решите систему неравенств x² > 6x-9, x²-3 ≤ 4x.

Ответ: x = 3

Шаг 1: Решим первое неравенство x² > 6x - 9.

x² - 6x + 9 > 0

(x - 3)² > 0

x ≠ 3

Шаг 2: Решим второе неравенство x² - 3 ≤ 4x.

x² - 4x - 3 ≤ 0

D = (-4)² - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28

x₁ = (4 + √28) / 2 = (4 + 2√7) / 2 = 2 + √7

x₂ = (4 - √28) / 2 = (4 - 2√7) / 2 = 2 - √7

2 - √7 ≤ x ≤ 2 + √7

Шаг 3: Найдем пересечение решений.

Первое неравенство дает все x, кроме 3, а второе дает интервал [2 - √7; 2 + √7]. Заметим, что 2 - √7 ≈ -0.65 и 2 + √7 ≈ 4.65, и 3 находится в этом интервале. Пересечение решений – это весь интервал [2 - √7; 2 + √7], за исключением точки x = 3. Но, если внимательно посмотреть на первое неравенство, то (x-3)^2 > 0 означает, что x может быть любым, кроме 3. Подставим х=3 во второе уравнение, получим, 9-3<= 12, 6 <=12 - это верно, т.е. х=3 является решением.

Ответ: x = 3