7. Найдите для функции у = х²+6x-8: а) область определения; 6) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Область определения: Все действительные числа, так как это квадратичная функция.
2. Множество значений: Найдем вершину параболы. \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3\). \(y_в = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1\). Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, парабола направлена вниз, поэтому множество значений: \((-\infty; 1]\).
3. Наибольшее значение: 1 (в вершине параболы). Наименьшего значения нет.
4. Уравнение оси симметрии параболы: \(x = 3\).
5. Нули функции: Решим уравнение \(-x^2 + 6x - 8 = 0\). \(x^2 - 6x + 8 = 0\). \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\). \(x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4\), \(x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2\).
6. Промежутки знакопостоянства:

• \(y > 0\) при \(2 < x < 4\).
• \(y < 0\) при \(x < 2\) и \(x > 4\).

7. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает при \(x < 3\).
• Функция убывает при \(x > 3\).