7. Найдите для функции у = -x² + 6x – 8: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки монотонности.

Ответ: См. решение

Для функции y = -x² + 6x - 8:

1. Область определения:

a) Область определения: x ∈ (-∞; +∞), так как это квадратичная функция, и нет ограничений на значения x.

2. Множество значений:

б) Множество значений: Найдем вершину параболы. x_в = -b / 2a = -6 / (2 * -1) = 3. y_в = -(3)² + 6 * 3 - 8 = -9 + 18 - 8 = 1.

Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз, поэтому y ∈ (-∞; 1].

3. Наибольшее значение:

в) Наибольшее значение: y = 1 (в вершине параболы).

4. Уравнение оси симметрии параболы:

г) Уравнение оси симметрии параболы: x = 3.

5. Нули функции:

д) Нули: Решим уравнение -x² + 6x - 8 = 0.

x² - 6x + 8 = 0.

D = (-6)² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.

x₁ = (6 + √4) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4.

x₂ = (6 - √4) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2.

Нули функции: x = 2 и x = 4.

6. Промежутки знакопостоянства:

е) Промежутки знакопостоянства:

• y > 0 при x ∈ (2; 4).
• y < 0 при x ∈ (-∞; 2) ∪ (4; +∞).

7. Промежутки монотонности:

ж) Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на интервале (-∞; 3].
• Функция убывает на интервале [3; +∞).

Ответ: См. решение