4. Нулями функции у = 4x2 – 5x + 1 являются числа ¼ и 1. Решите квадратное неравенство 4x2 – 5x + 1 ≥ 0.

Ответ: (-∞; 0.25] ∪ [1; +∞)

Шаг 1: Определим нули функции.

Нули функции уже даны в условии: x₁ = 1/4 и x₂ = 1.

Шаг 2: Нарисуем числовую прямую и отметим нули функции.

    (-∞)----[1/4]-----(1)-----+ (+∞)
             -       +

Шаг 3: Определим знаки на интервалах.

• Возьмем x = 0 (левее 1/4): 4(0)² - 5(0) + 1 = 1 > 0, значит, на интервале (-∞; 1/4) знак +.
• Возьмем x = 0.5 (между 1/4 и 1): 4(0.5)² - 5(0.5) + 1 = 1 - 2.5 + 1 = -0.5 < 0, значит, на интервале (1/4; 1) знак -.
• Возьмем x = 2 (правее 1): 4(2)² - 5(2) + 1 = 16 - 10 + 1 = 7 > 0, значит, на интервале (1; +∞) знак +.

Шаг 4: Выберем интервалы, где 4x² - 5x + 1 ≥ 0.

Неравенство выполняется на интервалах, где функция положительна или равна нулю: (-∞; 1/4] ∪ [1; +∞).

Ответ: (-∞; 0.25] ∪ [1; +∞)