Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 4 даёт в остатке 1, при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 6 даёт в остатке 3.

Число на 3 больше числа, делящегося на 4, 5 и 6 без остатка. Наименьшее общее кратное этих делителей равно \(60\), поэтому подходит число \(60+3=63\).

Проверка: \(63=4\cdot15+3\) — это не остаток 1. Значит, этот путь не подходит; решим условия напрямую. Из условия деления на 6: число имеет вид \(6k+3\). Проверяя числа с остатком 1 при делении на 4, получаем последовательность \(9, 21, 33, 45, 57, 69,\ldots\). Число 57 при делении на 5 даёт остаток 2.

Проверка: \(57=4\cdot14+1=511+2=6\cdot9+3\).

Ответ: 57.