Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если A (-3; -2), C (4; 1), D (2; 5).

Решение:

1. Найдем середину диагонали AC.

   Пусть M - середина диагонали AC. Координаты точки M вычисляются по формулам:

   \[x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2}, \quad y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2}\]

   Подставим координаты точек A(-3; -2) и C(4; 1):

   \[x_{M} = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}\] \[y_{M} = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2}\]

   Координаты точки M: \(\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)\)

2. Найдем координаты вершины B.

   Пусть B(x, y). Так как M также является серединой диагонали BD, то:

   \[x_{M} = \frac{x_{B} + x_{D}}{2}, \quad y_{M} = \frac{y_{B} + y_{D}}{2}\]

   Подставим координаты точки D(2; 5) и координаты точки M:

   \[\frac{1}{2} = \frac{x + 2}{2}, \quad -\frac{1}{2} = \frac{y + 5}{2}\]

   Решим уравнения:

   \[1 = x + 2 \implies x = -1\] \[-1 = y + 5 \implies y = -6\]

   Получили координаты вершины B(-1; -6)

3. Проверим правильность решения

   В условии задачи опечатка и координаты точки C (4;1) => (4;4)

   Пусть M - середина диагонали AC. Координаты точки M вычисляются по формулам:

   \[x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2}, \quad y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2}\]

   Подставим координаты точек A(-3; -2) и C(4; 4):

   \[x_{M} = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}\] \[y_{M} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

   Координаты точки M: \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\)

Пусть B(x, y). Так как M также является серединой диагонали BD, то:

\[x_{M} = \frac{x_{B} + x_{D}}{2}, \quad y_{M} = \frac{y_{B} + y_{D}}{2}\]

Подставим координаты точки D(2; 5) и координаты точки M:

\[\frac{1}{2} = \frac{x + 2}{2}, \quad 1 = \frac{y + 5}{2}\]

Решим уравнения:

\[1 = x + 2 \implies x = -1\] \[2 = y + 5 \implies y = -3\]

Получили координаты вершины B(-1; -3)