Найдите корень уравнения log5 (6+7x) = log5 (4+x)+1.

Пошаговое решение:

• Перенесем логарифмы в одну сторону:
• \( ext{log}_5(6+7x) - ext{log}_5(4+x) = 1 \)
• Используем свойство логарифма (разность логарифмов равна логарифму частного):
• \( ext{log}_5rac{6+7x}{4+x} = 1 \)
• По определению логарифма:
• \( rac{6+7x}{4+x} = 5^1 \)
• \( rac{6+7x}{4+x} = 5 \)
• Умножим обе части на \( (4+x) \), учитывая, что \( 4+x eq 0 \) (т.е. \( x eq -4 \)):
• \( 6+7x = 5(4+x) \)
• \( 6+7x = 20+5x \)
• Перенесем члены с x в одну сторону, а числа — в другую:
• \( 7x - 5x = 20 - 6 \)
• \( 2x = 14 \)
• \( x = rac{14}{2} \)
• \( x = 7 \)
• Проверка:
• Левая часть: log₅(6 + 7*7) = log₅(6 + 49) = log₅55
• Правая часть: log₅(4 + 7) + 1 = log₅11 + 1. Так как \( 1 = ext{log}_55 \), то log₅11 + log₅5 = log₅(11*5) = log₅55.
• Левая часть равна правой.

Ответ: 7