4 582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 15x – 16 = 0; б) х² – 6x – 11 = 0; в) 12х2 – 4x - 1 = 0;

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$, а произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$. Обратная теорема Виета позволяет проверить, являются ли найденные корни решениями уравнения.

1. a) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$.
   Найдем корни с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289$$.
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$.
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15 = -\frac{-15}{1} = 15$$.
   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16 = \frac{-16}{1} = -16$$.
   Корни найдены верно.
2. б) $$x^2 - 6x - 11 = 0$$.
   $$D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80$$.
   $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{80}}{2} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$$.
   $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{80}}{2} = \frac{6 - 4\sqrt{5}}{2} = 3 - 2\sqrt{5}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$(3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6 = -\frac{-6}{1} = 6$$.
   Произведение корней: $$(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 = \frac{-11}{1} = -11$$.
   Корни найдены верно.
3. в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$.
   $$D = (-4)^2 - 4(12)(-1) = 16 + 48 = 64$$.
   $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2(12)} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$.
   $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2(12)} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = -\frac{-4}{12} = \frac{1}{3}$$.
   Произведение корней: $$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12} = \frac{-1}{12}$$.
   Корни найдены верно.

Ответ:

1. a) $$x_1 = 16$$, $$x_2 = -1$$.
2. б) $$x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$$, $$x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$$.
3. в) $$x_1 = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = -\frac{1}{6}$$.