581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x2 – 2x – 9 = 0; б) 3x² – 4x – 4 = 0; в) 2x² + 7x − 6 = 0; г) 2x² + 9x + 8 = 0.

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$, а произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$. Обратная теорема Виета позволяет проверить, являются ли найденные корни решениями уравнения.

1. a) $$x^2 - 2x - 9 = 0$$.
   Найдем корни с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-9) = 4 + 36 = 40$$.
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$.
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2 = -\frac{-2}{1} = 2$$.
   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = \frac{-9}{1} = -9$$.
   Корни найдены верно.
2. б) $$3x^2 - 4x - 4 = 0$$.
   $$D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$$.
   $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$.
   $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{-4}{3}$$.
   Произведение корней: $$2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} = \frac{-4}{3}$$.
   Корни найдены верно.
3. в) $$2x^2 + 7x - 6 = 0$$.
   $$D = 7^2 - 4(2)(-6) = 49 + 48 = 97$$.
   $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$$.
   $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -\frac{7}{2}$$.
   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{(-7 + \sqrt{97})(-7 - \sqrt{97})}{16} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3 = \frac{-6}{2}$$.
   Корни найдены верно.
4. г) $$2x^2 + 9x + 8 = 0$$.
   $$D = 9^2 - 4(2)(8) = 81 - 64 = 17$$.
   $$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$$.
   $$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$$.
   Проверим по теореме Виета:
   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2} = -\frac{9}{2}$$.
   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{(-9 + \sqrt{17})(-9 - \sqrt{17})}{16} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4 = \frac{8}{2}$$.
   Корни найдены верно.

Ответ:

1. a) $$x_1 = 1 + \sqrt{10}$$, $$x_2 = 1 - \sqrt{10}$$.
2. б) $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -\frac{2}{3}$$.
3. в) $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$$, $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$$.
4. г) $$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$$, $$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$$.