Найдите корни уравнения cos (3x - π/2) = 1/2 принадлежащие полуинтервалу [π; 3π/2).

Решение:

Дано уравнение \( \cos(3x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \) и полуинтервал \( [\pi; \frac{3\pi}{2}) \).

Сначала найдём общее решение уравнения.

Используем формулу приведения \( \cos(a - \frac{\pi}{2}) = \sin(a) \).

Тогда уравнение примет вид: \( \sin(3x) = \frac{1}{2} \).

Общее решение для \( \sin(y) = a \) имеет вид \( y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( 3x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n \)

\( 3x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \)

\( x = \frac{(-1)^n \pi}{18} + \frac{\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Теперь найдём корни, принадлежащие полуинтервалу \( [\pi; \frac{3\pi}{2}) \).

Рассмотрим случаи для \( n \):

При \( n=0 \): \( x = \frac{(-1)^0 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{18} \). Не принадлежит интервалу.

При \( n=1 \): \( x = \frac{(-1)^1 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{6\pi}{18} = \frac{5\pi}{18} \). Не принадлежит интервалу.

При \( n=2 \): \( x = \frac{(-1)^2 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} \). Не принадлежит интервалу.

При \( n=3 \): \( x = \frac{(-1)^3 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 3}{3} = -\frac{\pi}{18} + \pi = \frac{17\pi}{18} \). Не принадлежит интервалу.

При \( n=4 \): \( x = \frac{(-1)^4 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 4}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18} \). Это больше \( \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2} \). Так, \( \frac{25\pi}{18} \) принадлежит интервалу \( [\pi = \frac{18\pi}{18}; \frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{18}) \).

При \( n=5 \): \( x = \frac{(-1)^5 \pi}{18} + \frac{\pi \cdot 5}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{30\pi}{18} = \frac{29\pi}{18} \). Это больше \( \frac{3\pi}{2} \), не принадлежит интервалу.

Проверим ещё значения при \( n \) больших, чтобы убедиться, что \( \frac{25\pi}{18} \) — единственный корень в интервале.

При \( n=6 \): \( x = \frac{\pi}{18} + 2\pi = \frac{37\pi}{18} > \frac{3\pi}{2} \).

При \( n=-1 \): \( x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{3} = -\frac{7\pi}{18} \). Не принадлежит интервалу.

Таким образом, единственный корень в заданном интервале — \( \frac{25\pi}{18} \).

Ответ: \( \frac{25\pi}{18} \).