Решите уравнение: √3 cos (π – 2,5 x) + cos (π/2 – 2,5 x) = 0.

Решение:

Данное уравнение: \( \sqrt{3} \cos(\pi - 2.5x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 2.5x) = 0 \).

Используем формулы приведения:

\( \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) \)

\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) \)

Подставим \( \alpha = 2.5x \):

\( \sqrt{3} (-\cos(2.5x)) + \sin(2.5x) = 0 \)

\( -\sqrt{3} \cos(2.5x) + \sin(2.5x) = 0 \)

Перенесём \( \sqrt{3} \cos(2.5x) \) в правую часть:

\( \sin(2.5x) = \sqrt{3} \cos(2.5x) \)

Разделим обе части на \( \cos(2.5x) \) (предполагая, что \( \cos(2.5x)
e 0 \)):

\( \frac{\sin(2.5x)}{\cos(2.5x)} = \sqrt{3} \)

\( \text{tg}(2.5x) = \sqrt{3} \)

Теперь найдём общее решение:

\( 2.5x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

\( 2.5x = \frac{\pi}{3} + \pi n \)

\( \frac{5}{2}x = \frac{\pi}{3} + \pi n \)

Умножим обе части на \( \frac{2}{5} \):

\( x = \frac{2}{5} \left(\frac{\pi}{3} + \pi n\right) \)

\( x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Проверим, нет ли решений, когда \( \cos(2.5x) = 0 \). Если \( \cos(2.5x) = 0 \), то \( 2.5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin(2.5x) = \pm 1 \). Подставим в \( \sin(2.5x) = \sqrt{3} \cos(2.5x) \): \( \pm 1 = \sqrt{3} \cdot 0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos(2.5x)
e 0 \) и деление было корректным.

Ответ: \( x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} \).