Решите уравнение: 3sin²x - 3sinxcosx - 4cos²x = -2.

Решение:

Данное уравнение: \( 3\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 4\cos^2(x) = -2 \).

Запишем -2 как \( -2(\sin^2(x) + \cos^2(x)) \) и раскроем скобки:

\( 3\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 4\cos^2(x) = -2\sin^2(x) - 2\cos^2(x) \).

Перенесём все члены в левую часть:

\( 3\sin^2(x) + 2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 4\cos^2(x) + 2\cos^2(x) = 0 \).

\( 5\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 0 \).

Это однородное уравнение второй степени. Если \( \cos(x) = 0 \), то \( 5\sin^2(x) = 0 \), что означает \( \sin(x) = 0 \). Но \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \) не могут быть равны нулю одновременно. Значит, \( \cos(x)
e 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2(x) \):

\( \frac{5\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \frac{3\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} - \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0 \).

\( 5\text{tg}^2(x) - 3\text{tg}(x) - 2 = 0 \).

Сделаем замену \( y = \text{tg}(x) \):

\( 5y^2 - 3y - 2 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \).

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1 \).

\( y_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \).

Теперь вернёмся к \( y = \text{tg}(x) \):

1) \( \text{tg}(x) = 1 \) \( \implies x = \text{arctg}(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2) \( \text{tg}(x) = -\frac{2}{5} \) \( \implies x = \text{arctg}(-\frac{2}{5}) + \pi m \) (или \( x = -\text{arctg}(\frac{2}{5}) + \pi m \)), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) или \( x = \text{arctg}(-\frac{2}{5}) + \pi m, k, m \in \mathbb{Z} \).