5. Найдите косинус острого угла между векторами АС и BD, если даны координаты точек: А (2; 4); B (3; 0); C (-4; -4); D (4; -2).

Решение:

1. Найдем координаты вектора AC: AC = (-4-2; -4-4) = (-6; -8).
2. Найдем координаты вектора BD: BD = (4-3; -2-0) = (1; -2).
3. Найдем длины векторов AC и BD:
   • |AC| = √((-6)^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
   • |BD| = √(1^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5.
4. Найдем скалярное произведение векторов AC и BD: AC · BD = (-6 · 1) + (-8 · (-2)) = -6 + 16 = 10.
5. Найдем косинус угла между векторами AC и BD:
   • cos(α) = (AC · BD) / (|AC| · |BD|) = 10 / (10 · √5) = 1 / √5 = √5 / 5.

Ответ:

√5 / 5