1. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, АВ = 4, найдите скалярное произведение векторов ВА·ВС, CA·CB.

Решение:

1. Найдем длину стороны BC. Так как ∠ABC = 30°, то BC = AB · cos(30°) = 4 · √3/2 = 2√3.
2. Скалярное произведение векторов BA·BC = |BA| · |BC| · cos(∠ABC) = 4 · 2√3 · cos(30°) = 4 · 2√3 · √3/2 = 12.
3. Найдем длину стороны AC. Так как ∠ABC = 30°, то AC = AB · sin(30°) = 4 · 1/2 = 2.
4. Скалярное произведение векторов CA·CB = |CA| · |CB| · cos(∠BCA). Так как ∠BCA = 90°, то cos(∠BCA) = 0. Следовательно, CA·CB = 2 · 2√3 · 0 = 0.

Ответ:

1. BA·BC = 12
2. CA·CB = 0