5. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

5. Даны координаты вершин треугольника A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Необходимо найти косинус угла A.

Для нахождения косинуса угла A, воспользуемся формулой:

\(\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB| \cdot |AC|}\)

Сначала найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3)\)

\(\overrightarrow{AC} = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7)\)

Теперь вычислим скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\)

Найдем длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(|AB| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(|AC| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Подставляем значения в формулу косинуса угла A:

\(\cos A = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\)

Ответ: \(\frac{3}{5}\)