1. В параллелограмме ABCD L A=30°, AB=2√3, ВС=5. Найти скалярное векторов: a) ADAB; б) ВА ВС; в) AD. BH

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD с углом A=30°, AB=2√3, BC=5. Необходимо найти скалярное произведение векторов в трех случаях:

a) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\)

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому AD = BC = 5.

Скалярное произведение векторов находится по формуле: \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = |AD| \cdot |AB| \cdot \cos{A}\)

Подставляем значения: \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30°} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15\)

б) \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)

Угол между векторами \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен 180° - 30° = 150°.

Скалярное произведение векторов: \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |BA| \cdot |BC| \cdot \cos{150°} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos{150°} = 10\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -10 \cdot \frac{3}{2} = -15\)

в) \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH}\), где BH - высота, опущенная из вершины B на сторону AD.

Длина высоты BH находится из прямоугольного треугольника ABH: BH = AB \(\cdot \sin{A}\) = 2\(\sqrt{3} \cdot \sin{30°} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\)

Скалярное произведение векторов: \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BH} = |AD| \cdot |BH| \cdot \cos{90°} = 5 \cdot \sqrt{3} \cdot 0 = 0\)

Ответ: a) 15; б) -15; в) 0