5. Найдите косинус угла между диагональю единичного куба и плоскостью одной из его граней.

Пусть дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром равным 1. Рассмотрим диагональ $$AD_1$$ и плоскость $$ABCD$$. Проекцией диагонали $$AD_1$$ на плоскость $$ABCD$$ является диагональ $$AD$$. Пусть $$∠D_1AD = \alpha$$. Тогда $$\cos(\alpha) = \frac{AD}{AD_1}$$. В прямоугольном треугольнике $$ADD_1$$: $$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$ADD_1$$: $$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$. $$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$. Рассмотрим диагональ $$AC_1$$ и плоскость $$ABCD$$. Проекцией диагонали $$AC_1$$ на плоскость $$ABCD$$ является диагональ $$AC$$. $$AC = \sqrt{2}$$ (диагональ квадрата со стороной 1). $$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$$. Тогда $$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AC_1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$. Теперь рассмотрим диагональ $$AC_1$$ и плоскость $$CDD_1C_1$$. Проекцией диагонали $$AC_1$$ на плоскость $$CDD_1C_1$$ является диагональ $$C_1D$$. $$C_1D = \sqrt{2}$$ (диагональ квадрата со стороной 1). Тогда $$\cos(\alpha) = \frac{C_1D}{AC_1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$. Ответ: A) $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$