Найдите косинус угла между векторами \(\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{k}-\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{p}\), если \(\overrightarrow{k} \perp \overrightarrow{p}\), \(|\overrightarrow{k}|=|\overrightarrow{p}|=1\)

Вычисление скалярного произведения \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\]:

• \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}) = 3(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 9(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) - (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{k}) + 3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})\]

• Так как \[\overrightarrow{k} \perp \overrightarrow{p}\] , то \[\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p} = 0\]

• Также, \[|\overrightarrow{k}| = |\overrightarrow{p}| = 1\] , поэтому \[\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k} = |\overrightarrow{k}|^2 = 1\] и \[\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} = |\overrightarrow{p}|^2 = 1\]

• Тогда, \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3(1) - 9(0) - (0) + 3(1) = 3 + 3 = 6\]

Вычисление модулей векторов \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]:

• \[|\overrightarrow{a}|^2 = (3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) \cdot (3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) = 9(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 6(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) + (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p}) = 9(1) - 6(0) + 1 = 10\]

  \[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{10}\]

• \[|\overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}) = (\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 6(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) + 9(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p}) = 1 - 6(0) + 9(1) = 10\]

  \[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{10}\]

Вычисление косинуса угла между векторами \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]:

• \[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6\]