55. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A(2; 8), B(-1;5), C(3;1).

Для нахождения косинусов углов треугольника ABC, сначала найдем векторы сторон: $\vec{AB} = (-1-2; 5-8) = (-3; -3)$ $\vec{BC} = (3-(-1); 1-5) = (4; -4)$ $\vec{CA} = (2-3; 8-1) = (-1; 7)$ Теперь найдем длины сторон: $|AB| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ $|BC| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ $|CA| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ Теперь найдем косинусы углов: Косинус угла A: $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{(-3)(-(-1)) + (-3)(-7)}{(3\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{-3 + 21}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ Косинус угла B: $\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|BA| \cdot |BC|} = \frac{(3)(4) + (3)(-4)}{(3\sqrt{2})(4\sqrt{2})} = \frac{12 - 12}{24} = \frac{0}{24} = 0$ Косинус угла C: $\cos C = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|CB| \cdot |CA|} = \frac{(-4)(-1) + (4)(7)}{(4\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{4 + 28}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$ Ответ: $\cos A = \frac{3}{5}$ $\cos B = 0$ $\cos C = \frac{4}{5}$