4. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 4,9,5.

Необходимо найти наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 4, 9 и 5.

Поскольку число должно делиться на 5, оно должно заканчиваться либо на 0, либо на 5.

Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.

Чтобы число делилось на 4, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

Сначала рассмотрим случай, когда число заканчивается на 0. Тогда число имеет вид abcd, где d = 0.

Чтобы число было наибольшим, нужно, чтобы a было как можно больше. Пусть a = 9. Тогда число имеет вид 9bc0. Чтобы сумма цифр делилась на 9, нужно, чтобы 9 + b + c + 0 делилось на 9, т.е. 9 + b + c = 9k, где k – целое число. Значит, b + c должно делиться на 9. Максимальные значения для b и c, чтобы они были различными, 8 и 1, или 7 и 2, или 6 и 3, или 5 и 4. Наибольшее число будет, если b = 8 и c = 1. Тогда число будет 9810. Проверим: 9810 / 4 = 2452.5. Значит, число не делится на 4. Но надо, чтобы две последние цифры делились на 4, поэтому число, заканчивающиеся на 00, 20, 40, 60, 80.

Чтобы получить наибольшее число, переберем варианты: 98_0, 97_0, 96_0 и т.д. Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9.

• 98_0: 9 + 8 + _ + 0 = 17 + _ = 18, значит, _ = 1. Получаем 9810.
• 97_0: 9 + 7 + _ + 0 = 16 + _ = 18, значит, _ = 2. Получаем 9720.
• 96_0: 9 + 6 + _ + 0 = 15 + _ = 18, значит, _ = 3. Получаем 9630.
• 95_0: 9 + 5 + _ + 0 = 14 + _ = 18, значит, _ = 4. Получаем 9540.
• 94_0: 9 + 4 + _ + 0 = 13 + _ = 18, значит, _ = 5. Получаем 9450.
• 93_0: 9 + 3 + _ + 0 = 12 + _ = 18, значит, _ = 6. Получаем 9360.
• 92_0: 9 + 2 + _ + 0 = 11 + _ = 18, значит, _ = 7. Получаем 9270.
• 91_0: 9 + 1 + _ + 0 = 10 + _ = 18, значит, _ = 8. Получаем 9180.

9810 не делится на 4, 9720 делится на 4 (9720 / 4 = 2430), 9630 не делится на 4, 9540 не делится на 4, 9450 не делится на 4, 9360 делится на 4 (9360 / 4 = 2340), 9270 не делится на 4, 9180 не делится на 4.

Теперь рассмотрим случай, когда число заканчивается на 5. Тогда число имеет вид abc5.

• 98_5: 9 + 8 + _ + 5 = 22 + _ = 27, значит, _ = 5. Получаем 9855, но цифры должны быть различны.
• 97_5: 9 + 7 + _ + 5 = 21 + _ = 27, значит, _ = 6. Получаем 9765. Это число делится на 5 и на 9 (сумма цифр 27), но не делится на 4 (65 не делится на 4).

Надо, чтобы число abcd делилось на 4, то есть cd делилось на 4. Число должно делиться на 5, значит, d равно либо 0, либо 5. Значит, нам нужно найти такое число abc0 или abc5, где сумма цифр делится на 9, все цифры разные, и cd делится на 4.

Ранее были найдены числа 9720 и 9360. Из них наибольшее число 9720.

Ответ: 9720